Question

1．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點、連接EB并延長，使BF=BE，連接EC并延長，使CG=CE，連接AF、FG，H為FG的中點，連接DH．
（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；
（2）若∠BEC=90°，連接EH、CH，EH、BC交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的所有等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）只要證明AD∥FH，AD=FH即可．
（2）等腰三角形有△BOE，△EOC，△EFH，△EHG，△OHC，先證明BO=OC，利用直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵EB=BF，EC=CG，
∴BC∥FG，BC=$\frac{1}{2}$FG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵FH=GH，
∴AD=BC=FH，AD∥FH，
∴四邊形AFHD是平行四邊形．
（2）解：如圖2中，等腰三角形有△BOE，△EOC，△EFH，△EHG，△OHC．
理由：∵BC∥FG，
∴$\frac{BO}{FH}$=$\frac{EO}{EH}$=$\frac{OC}{GH}$，
∵FH=HG，
∴BO=OC，
∵∠FEC=90°，
∴EO=BO=OC，EH=FH=GH，
∴△BOE，△EOC，△EFH，△EHG是等腰三角形，
∵CE=CG，GH=FH，
∴CH∥EB，
∴∠OEB=∠OHC，∠OBE=∠OCH，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OHC=∠OCH，
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰三角形．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是平行線分線段成比例定理的正確應(yīng)用，屬于中考�？碱}型．