Question

2．如圖，點(diǎn)A、B是線段MN上方兩點(diǎn)．AN與BM相交于點(diǎn)C，且∠AMN=∠BNM=60°，∠MAN+∠MBN=180°．
（1）求∠ACM的度數(shù)；
（2）求證：MN=AM+BN．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建等邊三角形BDN，證明AM∥BD，則∠MAN+∠AED=180°，由已知的，∠MAN+∠MBN=180°，得∠AED=∠MBN，再根據(jù)外角定理可證得：∠ACM=∠DBN=60°；
（2）如圖2，構(gòu)建等邊三角形FMN，證明△MNB≌△NFA，可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，在NM上取一點(diǎn)D，使DN=BN，連接BD，
∵∠BNM=60°，
∴△BDN是等邊三角形，
∴∠BDN=∠DBN=60°，
∵∠AMN=60°，
∴∠AMN=∠BDN，
∴AM∥BD，
∴∠MAN+∠AED=180°，
∵∠MAN+∠MBN=180°，
∴∠AED=∠MBN，
∵∠AED=∠NCB+∠MBD，
∠MBN=∠MBD+∠DBN，
∴∠NCB+∠MBD=∠MBD+∠DBN，
∴∠NCB=∠DBN，
∵∠ACM=∠NCB，
∴∠ACM=∠DBN=60°；
（2）如圖2，延長MA、NB交于F，
∵∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠F=60°，
∴△FMN是等邊三角形，
∴MF=NF=MN，
由（1）得：∠ACM=60°，
∴∠ACM=∠CMN+∠CNM=60°，
∵∠BNM=60°，
∴∠BNM=∠CNM+∠ANB=60°，
∴∠CMN=∠ANB，
∵∠F=∠MNB=60°，
∴△MNB≌△NFA，
∴BN=AF，
∴MN=MF=AM+AF=AM+BN．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，第（1）難度適中，截取相等線段得平行線和等邊三角形，即可證得結(jié)論；第二問相對較難一些，構(gòu)建等邊三角形FMN，并證明△MNB≌△NFA是關(guān)鍵．