Question

6．在矩形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F，連接AC交DF于點(diǎn)O
（1）找出其中的相似三角形；
（2）若CE=3，DC=4，OD=$\frac{16}{5}$，求證：△OCE∽△CDE．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，CD∥AB，然后根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似找出圖中相似三角形；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出DE=5，則OE=$\frac{9}{5}$，經(jīng)過(guò)計(jì)算可到$\frac{OE}{CE}$=$\frac{CE}{DE}$，加上∠OEC=∠CED，則根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△OCE∽△CDE．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴△OAD∽△OEC，△ADC∽△CBA，△ODC∽△OFA，△FBE∽△FAD∽△DCE；
（2）證明：∵CE=3，DC=4，
∴DE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OE=DE-DO=5-$\frac{16}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∵$\frac{OE}{CE}$=$\frac{\frac{9}{5}}{3}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CE}{DE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{CE}{DE}$，
而∠OEC=∠CED，
∴△OCE∽△CDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了矩形的性質(zhì)．