Question

16．如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=$\frac{9}{5}$cm，BC=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DB方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)D出發(fā)，以$\frac{4}{3}$cm/的速度沿DC方向運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為sx（x＞0）．
（1）求線段DB的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)判斷PQ與BC的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）伴隨P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，將△DPQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到△PMN，點(diǎn)M落在線段PQ上，若△PMN與△DBC的重疊部分的圖形周長(zhǎng)為y．
①請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
②求出當(dāng)4＜y≤5時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABD∽△DCB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得BD的長(zhǎng)；
（2）利用x表示出DP和DQ的長(zhǎng)，證明△BCD∽△PQD，則∠DPQ=∠DBC，根據(jù)平行線的判定定理證明；
（3）①作PE⊥BC于點(diǎn)E，當(dāng)PE=DQ是，N在BC上，求得x的值，然后分成N在BC以前和N在BC下邊兩種情況進(jìn)行討論，從而求解；
②與①相似分成兩種情況，即可列不等式從而求解．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC=90°，
∴△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{DB}{BC}$，即$\frac{\frac{9}{5}}{DB}=\frac{DB}{5}$，
解得：BD=3；   
（2）在直角△BCD中，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
DP=xcm，DQ=$\frac{4}{3}$xcm．
則$\frac{DP}{DB}=\frac{DQ}{CD}$，
又∵∠BDC=∠PDQ，
∴△BCD∽△PQD，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴PQ∥BC；
（3）作PE⊥BC于點(diǎn)E．
則△PBE∽△CBD，$\frac{PE}{CD}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PE}{4}=\frac{3-x}{5}$，則PE=$\frac{4}{5}$（3-x），
同理，DQ=$\frac{4}{3}$PD=$\frac{4}{3}$x，PQ=$\frac{5}{3}$x．
當(dāng)點(diǎn)N落在BC邊上時(shí)$\frac{4}{5}$（3-x）=$\frac{4}{3}x$，
解得：x=$\frac{9}{8}$．
①當(dāng)0＜x≤$\frac{9}{8}$時(shí)，y=x+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$x=4x； 
當(dāng)$\frac{9}{8}$＜x≤3時(shí)，F(xiàn)N=MN-MF=DQ-PE=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{5}$（3-x）=$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$，
則在直角△NFG中，F(xiàn)G=$\frac{3}{4}$FN=$\frac{3}{4}$（$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
GN=$\frac{5}{4}$x=$\frac{5}{4}$（$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{3}$x-3．
則PG=$\frac{5}{3}$x-（$\frac{8}{3}$x-3）=3-x．
則y=x+$\frac{4}{5}$（3-x）+（$\frac{8}{5}$x-$\frac{9}{5}$）+（3-x）=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$；
②當(dāng)0＜x≤$\frac{9}{8}$時(shí)，4＜4x≤5時(shí)，解得：1＜x≤$\frac{5}{4}$，則1＜x≤$\frac{9}{8}$；
當(dāng)$\frac{9}{8}$＜x≤3，4＜$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$≤5時(shí)，解得：$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{7}{4}$，則$\frac{9}{8}$＜x≤$\frac{7}{4}$．
總之，1＜x≤$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，正確利用x表示出圖形中線段GN、PG、DQ的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．