Question

19．已知兩半徑不等的⊙O₁與⊙O₂相交于點M和N．且⊙O₁、⊙O₂分別與⊙O內(nèi)切于S、T，求證：當ST+NT=ST時，OM⊥MN．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)⊙O₁，⊙O₂，⊙O的半徑為r₁，r₂，r，由⊙O₁、⊙O₂分別與⊙O內(nèi)切于S、T，得到O，O₁，S三點共線，O，O₂，T三點共線，OS=OT=r，根據(jù)已知條件得到S，N，T三點共線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠S=∠O₁NS=∠T=∠O₂NT，推出四邊形OO₁NO₂為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S${\;}_{△{O}_{1}MO}$=S${\;}_{△{O}_{2}OM}$，根據(jù)同底等高的三角形的面積和平行線間的距離相等得到OM∥O₁O₂，于是得到結(jié)論．

解答 證明：如圖，設(shè)⊙O₁，⊙O₂，⊙O的半徑為r₁，r₂，r，
∵⊙O₁、⊙O₂分別與⊙O內(nèi)切于S、T，
∴O，O₁，S三點共線，O，O₂，T三點共線，OS=OT=r，
∵SN+NT=ST，
∴S，N，T三點共線，
∴∠S=∠T，
∵△O₁SN與△O₂NT為等腰三角形，
∴∠S=∠O₁NS，∠T=∠O₂NT，
∴∠S=∠O₁NS=∠T=∠O₂NT，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴四邊形OO₁NO₂為平行四邊形，
∴OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，
在△O₁MO與△O₂OM中，$\left\{\begin{array}{l}{O{O}_{1}=M{O}_{2}}\\{O{O}_{2}=M{O}_{1}}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△O₁MO≌△O₂OM，
∴S${\;}_{△{O}_{1}MO}$=S${\;}_{△{O}_{2}OM}$，
∴OM∥O₁O₂，
∵O₁O₂⊥MN，
∴OM⊥MN．

點評 本題考查了兩圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三點共線，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．