Question

3．已知，一條拋物線的頂點(diǎn)為E（-1，4），且過點(diǎn)A（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是這條拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m，且-3＜m＜-1，過點(diǎn)D作DK⊥x軸，垂足為K，DK分別交線段AE、AC于點(diǎn)G、H．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求證：GH=HK；
（3）當(dāng)△CGH是等腰三角形時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4 （a≠0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線AE、AC的解析式，由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，可求得KG、KH的長（用含m的式子），從而可證明GH=HK；
（3）可分為CG=CH，GH=GC，HG=HC三種情況，接下來依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可．

解答 （1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為E（-1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4 （a≠0）．
又∵拋物線過點(diǎn)A（-3，0），
∴4a+4=0，解得：a=-1．
∴這條拋物線的解析式為y=-（x+1）²+4．
（2）設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b．
∵將A（-3，0），E（-1，4），代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=6，
∴直線AE的解析式為y=2x+6．
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁．
∵將A（-3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=3，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
∵D的橫坐標(biāo)為m，DK⊥x軸
∴G（m，2m+6），H（m，m+3）．
∵K（m，0）
∴GH=m+3，HK=m+3．
∴GH=HK．
（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）
①若CG=CH，則$\sqrt{{m^2}+{{（2m+3）}^2}}$=$\sqrt{{m^2}+{m^2}}$，整理得：（2m+3）²=m²，解得開平方得：2m+3=±m(xù)解得m₁=-1，m₂=-3，
∵-3＜m＜-1，
∴m≠-1且m≠-3．
∴這種情況不存在．
②若GC=GH，則$\sqrt{{m^2}+{{（2m+3）}^2}}$=m+3，整理得：2m²+3m=0  解得m₁=0（舍去），${m_2}=-\frac{3}{2}$．
③若HC=HG，則$\sqrt{{m^2}+{m^2}}$=m+3，整理得：m²-6m-9=0，解得；m₁=3-3$\sqrt{2}$，m2=3+3$\sqrt{2}$（舍去）．
綜上所述：當(dāng)△CGH是等腰三角形時(shí)，m的值為$-\frac{3}{2}$或$3-3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定、兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．