Question

18．已知拋物線y=a（x-h）²的對(duì)稱軸為x=-2，且過(guò)點(diǎn)（1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（3）從圖象上觀察，當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最大值（或最小值）？

Answer 1

分析 （1）首先將對(duì)稱軸x=-2，（1，-3）代入拋物線y=a（x-h）²中可得a，易得解析式；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)（1，-3）畫(huà)拋物線；
（3）利用圖象回答問(wèn)題，對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大；因?yàn)閍是負(fù)數(shù)，所以函數(shù)有最大值．

解答 解：（1）∵x=-2為拋物線y=a（x-h）²的對(duì)稱軸，
∴拋物線的解析式為：y=a（x+2）²，
將（1，-3）代入可得，
-3=a（1+2）²，
解得：a=$-\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{3}$（x+2）²；
（2）如圖所示，
（3）∵該拋物線的對(duì)稱軸為：x=-2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得，當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最大值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并畫(huà)出拋物線，二次函數(shù)的最值問(wèn)題就是拋物線的頂點(diǎn)問(wèn)題：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y_最小值=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y_最大值=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$．