Question

10．如圖，已知點(diǎn)A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），拋物線F：y=x²-2mx+m²-2與直線x=-2交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)拋物線F經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求它的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y_P，求y_P的最小值，此時(shí)拋物線F上有兩點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂≤-2，比較y₁與y₂的大小；
（3）當(dāng)拋物線F與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線F：y=x²-2mx+m²-2過點(diǎn)C（-1，-2），可以求得拋物線F的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意，可以求得y_P的最小值和此時(shí)拋物線的表達(dá)式，從而可以比較y₁與y₂的大��；
（3）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以解答本題

解答 解：（1）∵拋物線F經(jīng)過點(diǎn)C（-1，-2），
∴-2=（-1）²-2×m×（-1）+m²-2，
解得，m=-1，
∴拋物線F的表達(dá)式是：y=x²+2x-1；
（2）當(dāng)x=-2時(shí)，y_p=4+4m+m²-2=（m+2）²-2，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，y_p的最小值-2，
此時(shí)拋物線F的表達(dá)式是：y=x²+4x+2=（x+2）²-2，
∴當(dāng)x≤-2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵x₁＜x₂≤-2，
∴y₁＞y₂；
（3）m的取值范圍是-2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵拋物線F與線段AB有公共點(diǎn)，點(diǎn)A（0，2），B（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≤2}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≥2}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≥0}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≥2}\\{0＜-\frac{-2m}{2×1}＜2}\end{array}\right.$，
解得，-2≤m≤0或2≤m≤4．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．