Question

如圖，PD切⊙O于D，PC=PD，B為⊙O上一點，PB交⊙O于A，連結(jié)AC、BC．求證：AC•PB=PC•BC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：由切割線定理可得PD²=PA•PB，即有PC²=PA•PB，可證明△PAC∽△PCB，利用相似三角形的對應邊成比例可證得結(jié)論．

解答：證明：
∵PD切⊙O于D，PB交⊙O于A，
∴PD²=PA•PB，
∵PC=PD，
∴PC²=PA•PB，即

PC

PB

=

PA

PC

，
又∠APC=∠CPB，
∴△PAC∽△PCB，
∴

AC

BC

=

PC

PB

，
即AC•PB=PC•BC．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，利用切割線定理得到三角形相似的條件是解題的關鍵，注意相似三角形對應邊成比例的應用．