Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D．

（1）求證：∠BAO=∠CAD；
（2）若BE⊥AC于E，連接DE，求證：OC⊥DE．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）連接OB，如圖1，由OA=OB得∠BAO=∠ABO，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠C，所以∠BAO+∠C=90°，然后利用AD⊥BC得到∠C+∠CAD=90°，易得∠BAO=∠CAD；
（2）如圖2，連接OB，利用（1）的結(jié)論得到∠1=∠3，則∠ABE=∠OBC，加上∠2=∠OBC，則∠2=∠ABE，根據(jù)圓周角定理的推理得到點E和點D在以AB為直徑的圓上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠4=∠BAE，由于∠BAE+∠ABE=90°，所以∠2+∠4=90°，于是根據(jù)垂直的定義即可得到OC⊥DE．

解答：（1）證明：連接OB，如圖1，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
而∠AOB=2∠C，
∴2∠BAO+2∠C=180°，即∠BAO+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠CAD；
（2）證明：如圖2，連接OB，由BE⊥AC，利用（1）的結(jié)論得到∠1=∠3，
∴∠1+∠OBE=∠3+∠OBE，即∠ABE=∠OBC
∵OB=OC，
∴∠2=∠OBC，
∴∠2=∠ABE，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴點E和點D在以AB為直徑的圓上，
∴∠4=∠BAE，
而∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴OC⊥DE．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．通常把證明垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形為直角三角形．