Question

19．如圖，已知點(diǎn)A、P在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象上，點(diǎn)B、Q在直線y=x-3的圖象上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-1，AB⊥x軸，且S_△OAB=4，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和k的值；
（2）求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由點(diǎn)B在直線y=x-3的圖象上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-1，將y=-1代入y=x-3，求出x=2，即B（2，-1）．由AB⊥x軸可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，t），利用S_△OAB=4列出方程$\frac{1}{2}$（-1-t）×2=4，求出t=-5，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-5）；將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q（-m，n），由點(diǎn)P（m，n）在反比例函數(shù)y=-$\frac{10}{x}$的圖象上，點(diǎn)Q在直線y=x-3的圖象上，得出mn=-10，m+n=-3，再將$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$變形為$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B在直線y=x-3的圖象上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-1，
∴當(dāng)y=-1時(shí)，x-3=-1，解得x=2，
∴B（2，-1）．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，t），則t＜-1，AB=-1-t．
∵S_△OAB=4，
∴$\frac{1}{2}$（-1-t）×2=4，
解得t=-5，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-5）．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象上，
∴-5=$\frac{k}{2}$，解得k=-10；

（2）∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
∴Q（-m，n），
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=-$\frac{10}{x}$的圖象上，點(diǎn)Q在直線y=x-3的圖象上，
∴n=-$\frac{10}{m}$，n=-m-3，
∴mn=-10，m+n=-3，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{（-3）^{2}-2×（-10）}{-10}$=-$\frac{29}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，代數(shù)式求值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解決第（1）小題的關(guān)鍵，根據(jù)條件得到mn=-10，m+n=-3是解決第（2）小題的關(guān)鍵．