Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

x+3交y軸于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，AB與直線l相交點(diǎn)C，直線y=

3

4

x+m與拋物線在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，連接DC交y軸于點(diǎn)F，且CF：DF=1：4
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求m的值；
（3）若N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，在直線y=

3

4

x+m上市否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)O，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用二次函數(shù)對(duì)稱性以及對(duì)稱軸公式進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）首先得出△DFG∽△CFA，進(jìn)而得出DG的長(zhǎng)，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式即可得出m的值；
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，

3

4

x-2），表示出OM²，EM²的值，利用①當(dāng)OE為菱形的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)OE為菱形的邊時(shí)，若EM=OE=2以及若OM=OE=2分別得出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

x+3交y軸于點(diǎn)A，
∴A（0，3），
∵拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+

2

3

x+3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∵點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，3）；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)E，則∠DGF=∠CAF=90°，
∵∠DFC=∠CFA，
∴△DFG∽△CFA，
∴

DG

AC

=

DF

CF

，
由（1）得，AC=1，
又∵CF：DF=1：4，
∴

DG

1

=

4

1

，
∴DG=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-4，-5），
∵直線y=

3

4

x+m過(guò)點(diǎn)D（-4，-5），
∴-5=

3

4

×（-4）+m，
解得：m=-2；

（3）由（2）得直線y=

3

4

x+m的解析式為：y=

3

4

x-2，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，-2），OE=2，
設(shè)點(diǎn)M（x，

3

4

x-2），則OM²=

25

16

x²-3x+4，
EM²=x²+[

3

4

x-2-（-2）]²=

25

16

x²，
①當(dāng)OE為菱形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在線段OE的中垂線上，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：-1，
∴

3

4

x-2=-1，
解得：x=

4

3

，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（

4

3

，-1）；

②當(dāng)OE為菱形的邊時(shí)，若EM=OE=2，
則

25

16

x²=4，解得：x₁=

8

5

，x₂=-

8

5

，
代入y=

3

4

x-2得，y₁=-

4

5

，y₂=-

16

5

，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（

8

5

，-

4

5

）或（-

8

5

，-

16

5

），
若OM=OE=2，
則

25

16

x²-3x+4=4，
解得：x₃=

48

25

，x₄=0（不合題意舍去），
代入y=

3

4

x-2得，y₃=-

14

25

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（

48

25

，-

14

25

），
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（

4

3

，-1），（

8

5

，-

4

5

），（-

8

5

，-

16

5

），（

48

25

，-

14

25

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．