Question

閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，將等式兩邊同時乘以2得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
將下式減去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
即S=2²⁰¹⁴-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
請你仿照此法計算：
（1）填空：1+2+2²+2³=

 

．
（2）求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰的值．
（3）求1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m的值．（其中n為正整數(shù)）

Answer 1

考點：有理數(shù)的乘方

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義進行計算即可得解；
（2）根據(jù)閱讀材料，設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，再乘以2，然后相減即可得解；
（3）根據(jù)閱讀材料，設S=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m，然后兩邊乘以

1

3

，相減系數(shù)化為1即可得解．

解答：解：（1）1+2+2²+2³=1+2+4+8=15；
故答案為：15；

（2）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
等式兩邊同時乘以2得，2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
兩式相減得，S=2¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（3）設S=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m，
等式兩邊同時乘以

1

3

得，

1

3

S=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m+1，
兩式相減得，

2

3

S=（

1

3

）^m+1-1，
S=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

，
即1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，主要利用了等比數(shù)列的求和方法，讀懂題目信息是解題的關鍵．