Question

13．已知A（0，2），B（4，0）．
（1）如圖1，連接AB，若D（0，-6），DE⊥AB于點(diǎn)E，B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，M是線段DE上的一點(diǎn)，且DM=AB，連接AM，試判斷線段AC與AM之間的位置和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若N是線段DM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是MA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DN=AP，連接PN交y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)N點(diǎn)在線段DM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△MQH的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AC=AM，AC⊥AM．由已知條件得到AD=BC，推出△CAB≌△AMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AM，∠ACO=∠MAD，由于∠ACO+∠CAO=90°，得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到結(jié)論；
（2）過P作PG⊥y軸于G，證得△PAG≌△HND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PG=HN，AG=HD，證得△PQG≌△NHQ，得到QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）結(jié)論：AC=AM，AC⊥AM．理由如下：
∵A（0，2），B（4，0）D（0，-6），
∴OA=2，OD=6，OB=4，
∵AD=OA+OD=8，BC=2OB=8，
∴AD=BC，
在△CAB與△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MD}\\{∠ABO=∠MDA}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△AMD，
∴AC=AM，∠ACO=∠MAD，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°，
∴AC=AM，AC⊥AM；

（2）是定值，定值為4．理由如下：
過P作PG⊥y軸于G，
在△PAG與△HND中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=MD}\\{∠NDO=∠MAO}\\{DN=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△HND，
∴PG=HN，AG=HD，
∴AD=GH=8，
在△PQG與△NHQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGQ=∠NHQ=90°}\\{∠PQG=∠HQN}\\{PG=NH}\end{array}\right.$，
∴△PQG≌△NHQ，
∴QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4，
∴S_△MQH=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、，垂直的定義，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．