Question

9．課上教師呈現(xiàn)一個問題：

已知：如圖，AB∥CD，EF⊥AB于點O，F(xiàn)G交CD于點P，當∠1=30°時，求∠EFG的度數(shù)．
甲、乙、丙三位同學用不同的方法添加輔助線解決問題，如圖：

甲同學輔助線的做法和分析思路如下：

（1）請你根據(jù)乙同學所畫的圖形，描述輔助線的做法，并寫出相應的分析思路．
輔助線：過點P作PN∥EF交AB于點N；
分析思路：
（2）請你根據(jù)丙同學所畫的圖形，求∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)乙同學所畫的圖形：過點P作PN∥EF交AB于點N，再由平行線的性質(zhì)得出∠EFG=∠NPG，根據(jù)∠1的度數(shù)得出∠2的度數(shù)，根據(jù)EF⊥AB得出∠2=90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)丙同學所畫的圖形：過O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)乙同學所畫的圖形：

輔助線：過點P作PN∥EF交AB于點N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度數(shù)，由輔助線作圖可知，∠EFG=∠NPG，因此，只需轉(zhuǎn)化為求∠NPG的度數(shù)；
（2）欲求∠NPG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求∠1和∠2的度數(shù)；
（3）又已知∠1的度數(shù)，所以只需求出∠2的度數(shù)；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°；
（5）由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4，所以可得∠2的度數(shù)；
（6）從而可以求出∠EFG的度數(shù)．

（2）選擇丙同學所畫的圖形：

過點O作ON∥FG，交CD于點N，
∵ON∥FG，∠1=30°，
∴∠4=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON=∠3+∠2=90°+30°=120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG=∠EON=120°．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角或同位角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算求解．