Question

16．如圖，已知等腰直角三角形ABC，點P是斜邊BC上一點（不與B，C重合），PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑．
（1）求證：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直徑為2，求PC²+PB²的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解決問題；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，則四邊形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=$\sqrt{2}$PM，PB=$\sqrt{2}$PN，可得PC²+PB²=2（PM²+PN²）=2（AN²+PN²）=2PA²=PE²=2²=4；

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠AEP=∠ABP=45°，
∵PE是直徑，
∴∠PAB=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．

（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，則四邊形PMAN是矩形，
∴PM=AN，
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{2}$PM，PB=$\sqrt{2}$PN，
∴PC²+PB²=2（PM²+PN²）=2（AN²+PN²）=2PA²=PE²=2²=4．
（也可以證明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形）

點評 本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考�？碱}型．