Question

14．已知等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P，Q分別從A．C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P．Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/s，S=$\frac{1}{2}$QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系；
（2）另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)我們應(yīng)分條回答；
（3）根據(jù)當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，得出△APE≌△QCF，以及當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB的延長線上，得出DE的長．

解答 解：（1）如圖1，過P點(diǎn)作PE⊥AC于E．
當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10-t
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（10-t）=$\frac{1}{2}$（10t-t²）
當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB得延長線上，此時(shí)CQ=t，PB=t-10
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（t-10）=$\frac{1}{2}$（t²-10t）；

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=50，
∴當(dāng)t＜10秒時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（10t-t²）=$\frac{50}{4}$，
整理得t²-10t+25=0，
解得：t=5．
當(dāng)t＞10秒時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（t²-10t）=$\frac{50}{4}$，
整理得t²-10t-25=0解得t=5±5$\sqrt{2}$（舍去負(fù)值），
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒或5+5$\sqrt{2}$秒時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC；

（3）當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會改變．
證明如下：
①當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，如圖1，
過Q作QF⊥AC，交直線AC于點(diǎn)F
，在Rt△APE和Rt△QCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠QFC}\\{∠A=∠QCF}\\{AP=QC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△QCF，
∴AE=PE=CF=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，且DE是對角線EF的一半
又∵EF=AC=10$\sqrt{2}$，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
②當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB的延長線上，如圖2，
作PE⊥AC，交直線AC于點(diǎn)E，過Q作QF⊥AC，交直線AC于點(diǎn)F．
同理可得DE=5$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會改變．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知分別進(jìn)行討論當(dāng)t＜10秒以及當(dāng)t＞10秒是解題關(guān)鍵．