Question

9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，點D為AC延長線上一點，連接BD，過A作AM⊥BD，垂足為M，交BC于點N．
（1）如圖1，若∠ADB=30°，BC=2$\sqrt{2}$，求AM的長；
（2）如圖2，點E在CA的延長線上，且AE=CD，連接EN并延長交BD于點F，求證：EF=FD；
（3）在（2）的條件下，當AE=$\frac{1}{2}$AC時，請直接寫出$\frac{EN}{NF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABC是等腰直角三角形，進而求出AB，BD，AD，最后根據(jù)等面積直接求出AM；
（2）先判斷∠NBM=∠NAH=∠PCB，進而判斷出△BHP≌△AHN，再判斷出∠EAN=∠PCD，即可得出△AEN≌△CDP，最后用等角對等邊即可；
（3）先判斷出AC=2AE設(shè)出AE=a，進而表示出EQ，AD，再用等角的同名三角函數(shù)值相等，得出NR=$\frac{3}{2}$AR，即可表示出AR，RQ，最后代值即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=2，
∵∠ADB=30°，
∴BD=4，AD=2$\sqrt{3}$，
根據(jù)等面積法可得，AB•AD=AM•BD，
∴2×2$\sqrt{3}$=4•AM，
∴AM=$\sqrt{3}$，
（2）如圖1，
作AH⊥BC，AH延長線與BD交于P，連接CP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，BP=CP，∠PBC=∠PCB，
∵AM⊥BD，AH⊥BC，
∴∠BMN=∠AHN=90°，∠BNM=∠ANH，
∴∠NBM=∠NAH=∠PCB，
在△BHP和△AHN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NBM=∠NAH}\\{AH=BH}\\{∠BHP=∠AHN=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AHN，
∴BP=AN，
∴CP=AN，
∵∠PCB=∠PAM，
∴∠MAD=∠PAM+45°=∠PCB+45°=∠PCA，
∴∠EAN=∠PCD，
在△AEN和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=AE}\\{∠EAN=∠PCD}\\{AN=CP}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CDP，
∴∠E=∠D，
∴EF=DF，
（3）如圖2，
過點F作FQ⊥AC于Q，
由（2）可得，Q是DE的中點，
過N作NQ⊥AC于R，
設(shè)AE=a，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴EQ=2a，AD=3a，
∴$\frac{NR}{AR}$=tan∠ABD=tan∠MAD=$\frac{AD}{EQ}$=$\frac{3}{2}$，
∵NR=CR，AC=AR+CR=2a，
∴$\frac{NR}{AR}=\frac{3}{2}$，
∴NR=$\frac{3}{2}$AR，
∴$\frac{3}{2}$AR+AR=2a，
∴AR=$\frac{4}{5}$a，
∴RQ=$\frac{1}{5}$a，
∴$\frac{EN}{NF}=\frac{ER}{RQ}=\frac{\frac{4}{5}a+a}{\frac{1}{5}a}$=$\frac{9}{1}$=9．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是△BHP≌△AHN和∠EAN=∠PCD，作出輔助線是解本題的難點，是一道比較難的中考常考題．