Question

5．如圖，已知在等邊△ABC中，D為AB上一點，F(xiàn)為射線AC上一點，連DF交BC于點E，且DE=FE，BE=5，BD：DA=1：4，則AD的長度為$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 根據題意，構建出全等的三角形，過點D作DM∥AC交BC于點M，可得到△DMB為等邊三角形，可得到BD=BM；根據平行，易證△DEM≌△FEC，推出ME=CE，根據等邊三角形及BD：DA=1：4，設未知數，表示出BM、EM的長度，進而求得AD的長度．

解答 解：如圖，過點D作DM∥AC，交BC于點M，則△DMB為等邊三角形，
∴BD=BM；
∵DM∥AC，
∴∠F=∠EDM，
∵∠CEF=∠MED，DE=FE，
在△DEM和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠F}\\{DE=FE}\\{∠DEM=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△FEC（ASA），
∴ME=CE；
∵BD：AD=1：4，
故可設BD為x，則AD為4x，
∵DM∥AC，
∴BM：MC=BD：AD=1：4，
∴BM=x，ME=CE=2x，
∵BE=5，
∴BM+ME=5，即：x+2x=5，解得：$x=\frac{5}{3}$，
∴$AD=4x=4×\frac{5}{3}=\frac{20}{3}$．

點評 本題主要考查全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質和判定的綜合運用，構建全等的三角形，作出正確的輔助線是解決此題的關鍵．