Question

8．如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，連接AO′．
（1）圖中哪兩個(gè)三角形可以通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)互相得到？說(shuō)明理由；
（2）連接OO′，判斷△AOO′的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=4，∠OBO′=60°，再由△ABC為等邊三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可判斷△ABO′可由△CBO繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到；
（2）先證明△OBO′等邊三角形得到OO′=OB=4，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AO′=CO=5，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△AOO′是直角三角形．

解答 解：（1）圖中△ABO′可由△CBO繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到．理由如下：
∵線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴BO=BO′=4，∠OBO′=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABO′可由△CBO繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到；
（2）△AOO′是直角三角形，理由如下：
∵BO=BO′=4，∠OBO′=60°，
∴△OBO′等邊三角形，
∴OO′=OB=4，
∵△ABO′可由△CBO繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到；
∴AO′=CO=5，
在△AOO′中，OA=3，OO′=4，AO′=5，
而3²+4²=5²，
∴AO²+OO′²=AO′²，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形．