Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2

3

，以AC為邊在△ABC的外部作等邊△ACD，連接BD．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）求BD的長．

Answer 1

考點：解直角三角形,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，則△ABC的面積=

1

2

AC•BC=2

3

．再過點D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=

3

，則△ACD的面積=

1

2

AC•DE=

3

，則根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積求解；
（2）過點D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=

3

，則BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中運(yùn)用勾股定理即可求出BD的長度．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2

3

，
∴AC=2，AB=4．
∴△ABC的面積=

1

2

AC•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∵△ACD為等邊三角形，
∴AD=AC=2，∠DAC=60°．
過點D作DE⊥AC于E．
在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，
∴DE=AD•sin∠DAE=2×

3

2

=

3

，
∴△ACD的面積=

1

2

AC•DE=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=2

3

+

3

=3

3

；

（2）過點D作DF⊥AB于F．
∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，
∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．
在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，
∴AF=1，DF=

3

，
∴BF=AF+AB=1+4=5，
∴BD=

BF2+DF2

=

52+( 3 )2

=2

7

．

點評：本題考查了解直角三角形，三角形的面積，勾股定理，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．