Question

如圖，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標．

Answer 1

考點：待定系數法求二次函數解析式,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）先設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）入函數解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進而可得函數解析式．
（2）連接BC，交對稱軸于P，P即為使PA+PC的值最小，設直線BC的解析式，把B、C的坐標代入即可求得系數，進而求得解析式，令x=2時，即可求得P的坐標．

解答：解：（1）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點，得

0=a-b+c 0=25a+5b+c - 5 2 =c

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

，
所以這個二次函數的解析式是y=

1

2

x²-2x-

5

2

．

（2）∵y=

1

2

x²-2x-

5

2

=

1

2

（x-2）²-

9

2

．
∴拋物線的對稱軸為x=2，
設直線BC的解析式為y=kx+m，
∴

0=5k+m m=- 5 2

解得

k= 1 2 m=- 5 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
當x=2時，y=-

3

2

，
∴P點的坐標為（2，-

3

2

），

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式．軸對稱的性質等，解題的關鍵是把已知點的坐標代入函數解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組．