Question

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長(zhǎng)；
（3）在（1）（2）的條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角相等，即∠AFB=∠ADE和∠BAE=∠AED，證明△ABF∽△EAD；
（2）在Rt△ABE中，利用30°的余弦得AE的長(zhǎng)；
（3）由相似得：$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，代入可求得BF的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠BFE+∠ADE=180°，
∵∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠ADE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴cos∠BAE=cos30°=$\frac{AB}{AE}$，
∴AE=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{BF}{3}=\frac{4}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形的綜合題，難度適中，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，在相似的判定中，常運(yùn)用平行和兩角對(duì)應(yīng)相等證明兩三角形相似；再求線段的長(zhǎng)時(shí)，可以利用勾股定理來求，有時(shí)也會(huì)根據(jù)相似得比例式代入求解，也可以利用三角函數(shù)列式計(jì)算求得．