Question

4．已知△ABC三個頂點A（1，m），B（4，n），C（4，4），直線l過A、B兩點，其解析式為y=-x+b．
（1）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）過點A、B兩點，則關(guān)于x的方程x²-bx+k=0的解為x₁=1，x₂=4；
（2）當(dāng)b=5，若雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，求k₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與雙曲線的交點的橫坐標(biāo)為x²-bx+k=0的解，可得答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的相應(yīng)的關(guān)系，可得A、B點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線過A、B點時k取最小值，雙曲線過C點時，k取最大值，可得答案．

解答 解：（1）由直線l過A、B兩點，若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）過點A、B兩點，關(guān)于x的方程x²-bx+k=0的解為x₁=1，x₂=4，
故答案為：x₁=1，x₂=4；
（2）當(dāng)b=5時，直線l為y=-x+5，
當(dāng)x=1時，y=4；當(dāng)x=4時，y=1，
即A（1，4），B（4，1）．
∵雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，
∴當(dāng)過A（1，4）時k₁=4，
當(dāng)過B（4，1）時，k₁=4，
當(dāng)過C（4，4）時，k₁=16，
∴k₁的取值范圍4≤k₁≤16．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)與方程的關(guān)系：函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)是相應(yīng)方程的解，（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，雙曲線過A、B點時k取最小值，雙曲線過C點時，k取最大值．