Question

如圖，在直徑為AB的半圓形草坪內(nèi)劃一塊三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其他兩邊分別為6和8．現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如圖設(shè)計的方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中邊AB上的高h．
（2）設(shè)DN=x，當x取何值時，矩形水池DEFN面積y最大？
（3）在實際施工時發(fā)現(xiàn)邊AB上距點B 1.85處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于面積最大的水池的邊上？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）首先利用勾股定理求得AB的長．再利用三角形面積的兩種求法解得高h的值．
（2）根據(jù)相似形對應(yīng)邊成比例列出矩形面積關(guān)于x的關(guān)系式S_矩形DEFN=-

25

12

（x-2.4）²+12，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求關(guān)系式的最大值．
（3）根據(jù)（2）知，知道x的取值，此時S_矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并與1.85比較大小．

解答：解：（1）過C作CM⊥AB于M，則CM=h，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
根據(jù)三角形面積公式得：S_△ACB=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×h，
∴h=

AC×BC

AB

=

8×6

10

=4.8；

（2）∵如圖，NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴

h-DN

h

=

NF

AB

，
∴NF=

10(4.8-x)

4.8

，
∴S_矩形DEFN=NF•x=-

25

12

（x-2.4）²+12，
則當x=2.4時，S_矩形DEFN最大；

（3）當S_矩形DEFN最大，x=2.4，
過點C作CM⊥AB于點M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM=

8×6

10

=4.8，
∵EF=

1

2

CM=2.4，
∴F為BC中點，
BF=

1

2

BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB=

BF2-EF2

=

32-2．42

=1.8，
∵距點B 1.85處有一棵大樹，
故這棵大樹必位于欲修建的水池邊上．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)求極值、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．