Question

4．如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點；
（1）求出拋物線的表達式．
（2）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．
（3）在x軸上是否存在點F，使△ACF為等腰三角形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線經過C（0，-2），則可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；
（2）過D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運用代數式的變形求最大值．
（3）分三種情形①當CF=CA時，②當AC=AF時，③當FA=FC時，分別求解即可．

解答 解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）如圖，

設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
∴E點的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t-2）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（ $\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當t=2時，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

（3）如圖1中，

①當CF=CA時，可得點F₁（-4，0），
②當AC=AF時，∵AC=AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴F₂（4-2$\sqrt{5}$，0），F₃（4+2$\sqrt{5}$，0）．
③當FA=FC時，∵直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴AC的中垂線的解析式為y=-2x+5，
∴可得F₄（$\frac{5}{2}$，0），
綜上所述，點F的坐標為（-4，0）或（4-2$\sqrt{5}$，0）或（4+2$\sqrt{5}$，0）或（$\frac{5}{2}$，0）

點評 本題綜合考查了待定系數法求函數解析式，坐標系里表示三角形的面積及其最大值問題，掌握待定系數法的方法與步驟，會用字母代替長度，坐標，會對代數式進行合理變形，學會分類討論的思想考慮問題，屬于中考常考題型．