Question

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論正確的有（　�。�
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S_△ACD：S_△ABD=1：2．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的作法可得①正確，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角與內(nèi)角的關(guān)系可得∠ADC=60°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)逆定理可得③正確，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AD=2CD，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，進(jìn)而可得④正確．

解答 解：由題意可知AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正確；
∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD．
∵點(diǎn)D在AB的中垂線上，
∴AD=BD，
∴BD=2CD，
∴S_△ACD：S_△ABD=1：2，故④正確．
故選D．

點(diǎn)評 此題考查的是作圖-基本作圖，角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ADC度數(shù)是解題關(guān)鍵．