Question

6．如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=2$\sqrt{2}$，弦CD=DE=2，連結(jié)OB，OD，求圖中兩個(gè)陰影部分的面積和．

Answer 1

分析 根據(jù)弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過(guò)點(diǎn)C作CN∥OF，交OG于點(diǎn)N，判斷△CNG、△OMN為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可．

解答 解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧CE的中點(diǎn)，
∴∠BOD=90°，
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G．
則BF=FC=$\sqrt{2}$，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四邊形OFCG中，∠FCD=135°，
過(guò)點(diǎn)C作CN∥OF，交OG于點(diǎn)N，
則∠FCN=90°，∠NCG=135°-90°=45°，
∴△CNG為等腰三角形，
∴CG=NG=1，
過(guò)點(diǎn)N作NM⊥OF于點(diǎn)M，則MN=FC=$\sqrt{2}$，
在等腰三角形MNO中，NO=$\sqrt{2}$MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD=$\sqrt{O{G}^{2}+G{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即圓O的半徑為$\sqrt{10}$，
故S_陰影=S_扇形OBD=$\frac{90π×（\sqrt{10}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積計(jì)算、勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧之間的關(guān)系，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是求出圓0的半徑，此題難度較大．