Question

2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=$\frac{14}{3}$，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連結OD、BD，如圖，根據圓周角定理得∠ADB=90°，再根據直角三角形斜邊上的中線性質得ED=EB，則∠2=∠3，加上∠1=∠4，所以∠ODE=90°，然后根據切線得判斷定理即可得到DE與⊙O相切；
（2）先證明OE為△BAC的中位線得到OE∥AC，則∠BAD=∠BOE，則在Rt△OBE中，利用余弦的定義得cos∠BOE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{5}$，設OB=3x，則OE=5x，再利用勾股定理得到BE=4x，即4x=$\frac{14}{3}$，解得x=$\frac{7}{6}$，于是利用OE=5x求解．

解答 解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：
連結OD、BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，
∵E是BC的中點，
∴ED=EB，
∴∠2=∠3，
而OB=OD，
∴∠1=∠4，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
（2）∵OA=OB，BE=CE，
∴OE為△BAC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=cos∠BOE=$\frac{3}{5}$，
在Rt△OBE中，cos∠BOE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{5}$，
設OB=3x，則OE=5x，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{B}^{2}}$=4x，
∴4x=$\frac{14}{3}$，解得x=$\frac{7}{6}$，
∴OE=5x=$\frac{35}{6}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了余弦的定義．