Question

6．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，則$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 連接OB、OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AE，OG⊥AB，可得到△OBG為等腰直角三角形，△OEH為含30°的直角三角形，設(shè)⊙O的半徑為r，可求得BG=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，HE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，OH=$\frac{1}{2}$r，于是可求得三角形和正方形的面積，最后可求得它們的面積比．

解答 解：如圖所示：連接OB、OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AE，OG⊥AB．

設(shè)⊙O的半徑為r．
∵ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形，
∴GO=BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r．
∴正方形ABCD的面積=8×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$r×$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=2r²．
∵△AEF為⊙的內(nèi)接正三角形，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，OH=$\frac{1}{2}$r．
∴△AEF的面積=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×$\frac{1}{2}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$r²．
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正多邊形和圓，掌握此類問(wèn)題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．