Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2）、（0，3）之間（包含端點(diǎn)）．有下列結(jié)論：
①當(dāng)x=3時(shí)，y=0；
②3a+b＞0；
③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；
④$\frac{8}{3}$≤n≤4．
其中正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)可得出拋物線的對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性及點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)即可斷定①正確；②由拋物線的開(kāi)口向下可得出a＜0，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=1，可得出b=-2a，將b=-2a代入3a+b中，結(jié)合a＜0即可得出②不正確；③由拋物線與y軸的交點(diǎn)的范圍可得出c的取值范圍，將（-1，0）代入拋物線解析式中，再結(jié)合b=-2a即可得出a的取值范圍，從而斷定③正確；④結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，結(jié)合a的取值范圍以及c的取值范圍即可得出n的范圍，從而斷定④正確．綜上所述，即可得出結(jié)論．

解答 解：①由拋物線的對(duì)稱性可知：
拋物線與x軸的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1×2-（-1）=3，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴當(dāng)x=3時(shí)，y=0，①正確；
②∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0．
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a，
3a+b=a＜0，②不正確；
③∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，2）、（0，3）之間（包含端點(diǎn)），
∴2≤c≤3．
令x=-1，則有a-b+c=0，
又∵b=-2a，
∴3a=-c，即-3≤3a≤-2，
解得：-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，③正確；
④∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∴n=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=c-$\frac{^{2}}{4a}$，
又∵b=-2a，2≤c≤3，-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，
∴n=c-a，$\frac{8}{3}$≤n≤4，④正確．
綜上可知：正確的結(jié)論為①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象以及給定條件逐個(gè)分析4條結(jié)論．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用二次函數(shù)的系數(shù)表示出來(lái)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．