Question

13．拋物線y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$），與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，且拋物線的對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連結(jié)AB，求AB的長(zhǎng)和點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線l，若點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)QB．
①若點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)線段AD的長(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（直接答案即可）

Answer 1

分析 （1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐標(biāo)代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（2）先求出直線OA的解析式，點(diǎn)B坐標(biāo)，拋物線的對(duì)稱軸即可解決問(wèn)題．
（3）①如圖1中，點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，首先證明四邊形BOQC是菱形，設(shè)Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），根據(jù)OQ=OB=5，可得方程m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，解方程即可解決問(wèn)題．
②如圖2中，由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、D、B共線時(shí)，線段AD最小，設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H．先求出D、H兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BH的解析式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐標(biāo)代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16\sqrt{3}+4b+c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\sqrt{3}$x²+5$\sqrt{3}$x．

（2）由題意B（5，0），A（4，4$\sqrt{3}$），
∴直線OA的解析式為y=$\sqrt{3}$x，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7，
∵拋物線的對(duì)稱軸x=$\frac{5}{2}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

（3）①如圖1中，點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，

∵QC∥OB，
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，
∴CQ=BC=OB=5，
∴四邊形BOQC是平行四邊形，
∵BO=BC，
∴四邊形BOQC是菱形，
設(shè)Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴OQ=OB=5，
∴m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，
∴m=±$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）

②如圖2中，由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、D、B共線時(shí)，線段AD最小，設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H．

∵AB=7，BD=5，
∴AD=2，D（$\frac{30}{7}$，$\frac{20\sqrt{3}}{7}$），
∵OH=HD，
∴H（$\frac{15}{7}$，$\frac{10\sqrt{3}}{7}$），
∴直線BH的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$時(shí)，x=0，
∴Q（0，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．