Question

2．如圖，對(duì)稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=-1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）a=1時(shí)，先由對(duì)稱軸為直線x=-1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），根據(jù)S_△POC=4S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）∵拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴-$\frac{2}$=-1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
則二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），OC=3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當(dāng)x=4時(shí)，x²+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時(shí)，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t   （k≠0）將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-3）（-3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，QD有最大值 $\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問(wèn)題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．