Question

10．在△ABC中，點D在AB邊上，AD=CD，DE⊥AC于點E，CF∥AB，交DE的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=90°，∠B=30°時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中與線段AC相等的線段（線段AC除外）．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠DCA=∠ADC，CE=AE，再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD，則∠DCA=∠ECF，于是根據(jù)等腰三角形的判定方法可得AD=CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，
加上DA=DC可判斷四邊形ADCF是菱形；
（2）如圖2，先證明△ADC為等邊三角形得到AC=AD=CD，∠ACD=60°，再利用菱形的性質(zhì)可得AC=AD=DC=CF=AF，然后證明BD=CD即可．

解答 解：（1）證明：如圖1，
∵AD=CD，DE⊥AC，
∴∠DCA=∠ADC，CE=AE，
∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EAD，
∴∠DCA=∠ECF，
即CE平分∠DCF，
而CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴AD=CF，
∴AD∥CF，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
而DA=DC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（2）如圖2，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
而DA=DC，
∴△ADC為等邊三角形，
∴AC=AD=CD，∠ACD=60°，
∵四邊形ADCF為菱形，
∴AC=AD=DC=CF=AF，
∵∠B=∠DCB=30°，
∴BD=CD，
∴AC=AD=DC=CF=AF=BD．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)：菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形）．；菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．