Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+4的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m＞0）的圖象交于A、B兩點，與x軸，y軸分別交于C、D兩點，求證：AC=BD．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：先把y=kx+4代入y=

m

x

，整理得kx²+4x-m=0，解方程求出x的值，得到A（

-2+ km+4

k

，2+

km+4

），B（

-2- km+4

k

，2-

km+4

）．再由一次函數(shù)y=kx+4的圖象與x軸，y軸分別交于C、D兩點，求出C（-

4

k

，0），D（0，4），然后根據(jù)兩點之間的距離公式求出AC²=（

-2+ km+4

k

+

4

k

）²+（2+

km+4

-0）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，BD²=（

-2- km+4

k

-0）²+（2-

km+4

-4）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，從而證明AC=BD．

解答：解：把y=kx+4代入y=

m

x

，得kx+4=

m

x

，
整理，得kx²+4x-m=0，
解得x=

-2± km+4

k

，
所以A（

-2+ km+4

k

，2+

km+4

），B（

-2- km+4

k

，2-

km+4

）．
∵一次函數(shù)y=kx+4的圖象與x軸，y軸分別交于C、D兩點，
∴C（-

4

k

，0），D（0，4）．
∵AC²=（

-2+ km+4

k

+

4

k

）²+（2+

km+4

-0）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，
BD²=（

-2- km+4

k

-0）²+（2-

km+4

-4）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，
∴AC²=BD²，
∴AC=BD．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，兩點之間的距離公式，正確求出交點坐標是解題的關鍵．