Question

8．已知，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB．AE，CF相交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，連接HD，AD．求證：△AHD為等腰三角形．

Answer 1

分析 連接AO、OD，過(guò)O作OM⊥AC，證出AM=AF，由AAS證得△AMO≌△AFH，得出AO=AH=OD，再證明AE∥OD，得出四邊形OAHD為平行四邊形，由AO=AH，得出四邊形AHDO是菱形，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AO、OD，過(guò)O作OM⊥AC，則AM=$\frac{1}{2}$AC，如圖所示：
∵∠BAC=60°，CF⊥AB，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AM=AF，
∵AE⊥BC，CF⊥AB，
∴∠ABC+∠FHE=180°，
∵∠FHE+∠AHF=180°，
∴∠ABC=∠AHF，
∵∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠ABC，
∴∠AHF=∠AOM，
在△AMO與△AFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFH=∠AMO=90°}\\{∠AHF=∠AOM}\\{AF=AM}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△AFH（AAS），
∴AO=AH，
∵OD=OA，
∴AO=AH=OD，
∵點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴四邊形OAHD為平行四邊形，
∵AO=AH，
∴四邊形AHDO是菱形，
∴AH=HD，
∴△AHD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外接圓與外心、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理與全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．