Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直弦AC于點D，OD的延長線交⊙O 于點E，與過點C的⊙O的切線交于點F，已知OD=3，DE=2．
（1）求線段CF的長；
（2）求tan∠ABD．

Answer 1

分析 （1）由題意推出△ODC∽△OCF，然后對應邊成比例，即可推出CF的長度；
（2）過點D作DH⊥AB，垂足為點H，△ODH∽△OAD，結合三角形相似的性質，即可推出DH、OH的長度，便可得tan∠ABD的值．

解答 解：（1）∵FC為⊙O的切線，
∴OC⊥FC，
∴△ODC∽△OCF，
∴$\frac{OD}{DC}=\frac{OC}{CF}$，
∴CF=$\frac{20}{3}$；

（3）過點D作DH⊥AB，垂足為點H，
∴△ODH∽△OAD，
∴DH=$\frac{12}{5}$，OH=$\frac{9}{5}$，
∴tan∠ABD=$\frac{DH}{BH}=\frac{6}{17}$．

點評 本題主要考查切線的性質、解直角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質，關鍵在于求證相關的三角形相似．