Question

5．如圖，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點P，求證：BP²=AP²+BC²．

Answer 1

分析 在直角三角形中，利用勾股定理得到AB²-AC²+（AM²-MP²）=BC²+（MC²-MP²）①，AM²-MP²=AP²②，MC²+BC²-MP²=BM²-MP²=BP²③．把②③代入①證得結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴AB²=BC²+AC²，則AB²-AC²=BC²．
又∵在直角△AMP中，AP²=AM²-MP²，
∴AB²-AC²+（AM²-MP²）=BC²+（AM²-MP²）．
又∵AM=CM，
∴AB²-AC²+（AM²-MP²）=BC²+（MC²-MP²），①
∵△APM是直角三角形，∴AM²=AP²+MP²，則AM²-MP²=AP²，②
∵△BPM與△BCM都是直角三角形，
∴BM²=BP²+MP²=MC²+BC²，
MC²+BC²-MP²=BM²-MP²=BP²，③
把②③代入①，得
AB²-AC²+AP²=BP²，即BP²=AP²+BC²．

點評 本題考查了勾股定理．正確利用等量代換是解題的難點．