Question

17．如圖1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足為D，且AD=4，DC=2，動點M以每秒2個單位長度的速度從點D出發(fā)，沿射線DB做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t=1秒時，則CM=2$\sqrt{2}$；
（2）當t為何值時，∠AMC=90°；
（3）如圖2，過點A作AN∥BC，并使得∠NDB=∠C，求AN•BC的值．

Answer 1

分析 （1）當t=1秒時，DM=2，由勾股定理求出CM即可；
（2）當∠AMC=90°時，由射影定理得出DM²=AD•DC，求出DM，即可得出結(jié)果；
（3）連接BN，由等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和已知條件得出∠BAN=∠NDB，證出A、D、B、N四點共圓，由圓周角定理得出AB是圓的直徑，∠BNA=90°=∠CDB，證出△ABN∽△CBD，得出對應邊成比例，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）當t=1秒時，DM=2，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴CM=$\sqrt{D{M}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故答案為：2$\sqrt{2}$；
（2）當∠AMC=90°時，
∵∠ADB=∠CDB=90°，
∴由射影定理得：DM²=AD•DC=4×2=8，
解得：DM=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}$÷2=$\sqrt{2}$（秒），
∴當t為$\sqrt{2}$秒時，∠AMC=90°；
（3）連接BN，如圖所示：
∵AB=AC=AD+DC=6，
∴∠ABC=∠C，
∵AN∥BC，
∴∠BAN=∠ABC，
∵∠NDB=∠C，
∴∠BAN=∠NDB，
∴A、D、B、N四點共圓，
∵∠ADB=90°，
∴AB是圓的直徑，
∴∠BNA=90°=∠CDB，
又∵∠BAN=∠C，
∴△ABN∽△CBD，
∴$\frac{AN}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴AN•BC=AB•CD=6×2=12．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了勾股定理、射影定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明四點共圓，運用三角形相似采納得出結(jié)果．