Question

7．已知，在△ABC中，AB=AC，在射線AB上截取線段BD，在射線CA上截取線段CE，連結(jié)DE，DE所在直線交直線BC于點(diǎn)M．
猜想：當(dāng)點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，如圖①．若BD=CE，則線段DM、EM的大小關(guān)系為相等．
探究：當(dāng)點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②．若BD=CE，判斷線段DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明．
拓展：當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上（點(diǎn)D不與A、B重合），點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③．若BD=1，CE=4，DM=0.7．則EM的長(zhǎng)為2.8．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EF∥AB交BC于F，只要證明△BDM≌△FEM即可．
（2）如圖2中，作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于F，只要證明△BDM≌△FEM即可．
（3）如圖3中，作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于F，由BD∥EF得$\frac{BD}{EF}=\frac{MD}{ME}$，再證明EF=EC即可．

解答 （1）如圖1中，猜想：DM=EM．
理由：作EF∥AB交BC于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
故答案為DM=EM．
（2）結(jié)論DM=EM．
理由：如圖2中，作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
（3）如圖3中，作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于F，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠F=∠C，
∴EF=CE=4，
∵BD∥EF，
∴$\frac{BD}{EF}=\frac{MD}{ME}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{0.7}{EM}$，
∴EM=2.8，
故答案為2.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰三角形，屬于中考�？碱}型．