Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2），B（-1，0），Rt△AOC的面積為4．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，△PAC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由A（0，2），可得OA=2，再由Rt△AOC的面積為4，得OC的值，即可求了C點(diǎn)的坐標(biāo)，
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，把A（0，2），B（-1，0），C（4，0）代入，即可求出拋物線的解析式，可得出對(duì)稱軸，
（3）由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，可求出直線AC的解析式，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，由OA=2，OC=4，可得AC的值，從而得出cos∠ACO的值，設(shè)P（m，n），Q（m，-

1

2

m+2），可求出PQ，利用

PM

PQ

=

2 5

5

，解得PM，由n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，得PM=

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m），再由三角形的面積公式即可求出S=-2m²+8m，即可得出當(dāng)m=2，即P（2，3）時(shí)，S的值最大．

解答：解：（1）∵A（0，2），
∴OA=2，
∵Rt△AOC的面積為4，
∴

1

2

OC×2=4，解得OC=4，
∴C（4，0），
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
把A（0，2），B（-1，0），C（4，0）代入，得

c=2 0=a-b+c 0=16a+4b+c

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

．
所以拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對(duì)稱軸為：x=

3

2

，
（3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，代入點(diǎn)A（0，2），C（4，0），得：

b=2 0=4k+b

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+2，
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，

∵OA=2，OC=4，
∴AC=

22+42

=2

5

，
∴cos∠ACO=

4

2 5

=

2 5

5

，
∵設(shè)P（m，n），Q（m，-

1

2

m+2），
∴PQ=n+

1

2

m-2，
∴

PM

PQ

=

PM

n+ 1 2 m-2

=

2 5

5

，
解得PM=

2 5

5

×（n+

1

2

m-2），
∵n=-

1

2

m²+

3

2

m+2
PM=

2 5

5

×（n+

1

2

m-2）=

2 5

5

×（-

1

2

m²+

3

2

m+2+

1

2

m-2）=

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m），
∴S=2

5

×

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m）=-2m²+8m，
∴S=-2（m-2）²+8，
∴當(dāng)m=2，即P（2，3）時(shí)，S的值最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．