Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=1，點(diǎn)Q到AC的距離是$\frac{8}{5}$；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

分析 （1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)DE∥QB時(shí)，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t；
（4）①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，由PC²=QC²解得t；②第二種情況，點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，
∵AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，AP=3-2=1；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．
∴BC=4，
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QF}{BC}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{QF}{4}$，
解得：QF=$\frac{8}{5}$；
故答案為：1，$\frac{8}{5}$；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，
如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，
得QF$\frac{QF}{4}$=$\frac{t}{5}$．
∴QF=$\frac{4}{5}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$（3-t）•$\frac{4}{5}$t，
即S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t；

（3）能．
①當(dāng)由△APQ∽△ABC，DE∥QB時(shí)，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{t}{3}$=$\frac{3-t}{5}$．
解得t=$\frac{9}{8}$；
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{t}{5}$=$\frac{3-t}{3}$．
解得t=$\frac{15}{8}$，
綜上：在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$時(shí)，四邊形QBED能成為直角梯形；

（4）t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{45}{14}$．
①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．
∵sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{QG}{BQ}$，
∴QG=$\frac{3}{5}$（5-t），
同理BG=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴CG=4-$\frac{4}{5}$（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂線，
∴PC=QC
則PC²=QC²，
得t²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²，
解得t=$\frac{5}{2}$；
，②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²
（6-t）²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²，
即t=$\frac{45}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)，注意準(zhǔn)確作出輔助線，掌握方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．