Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是圓上一點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．P為

AC

上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)

PA

=

AB

時(shí)，判定AE與BE的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；
（2）圖中是否存在比例線段？找找看；
（3）當(dāng)AF=AE時(shí)，點(diǎn)P在什么位置？

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明

BG

=

PA

，即可解決問題；
（2）證明△APF∽△BCF，再利用射影定理即可找出圖中的比例線段；
（3）可通過三角形的外角定理證明∠ABE=∠PAC，即可解決問題．

解答：解：（1）AE=BE；
如圖，延長AD，交⊙O于點(diǎn)G；
∵AD⊥BC，BC為⊙O的直徑，
∴

AB

=

BG

，而

PA

=

AB

，
∴

BG

=

PA

，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE．
（2）圖中存在比例線段，
∵∠P=∠C，∠PAF=∠CBF，
∴△APF∽△BCF，
∴

AP

BC

=

AF

BF

=

PF

CF

；
由射影定理得：
AB²=BD•BC，AC²=DC•BC，AC²=DC•BC．
（3）當(dāng)AE=AF時(shí)，點(diǎn)P為

AC

的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：該命題以圓為載體，主要考查了垂徑定理、射影定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．