Question

如圖，AB是⊙O直徑，點D是弧AEB上的一個動點（不包括A，B），則下列結(jié)論：
①當(dāng)BD=AC時，四邊形ACBD為矩形；
②若∠BCD=∠ACD，則OD⊥AB；
③若∠BAD=18°，則以BD為邊可以作一個圓內(nèi)接正十邊形；
④當(dāng)△ABD的面積最大時，sin∠BCD=

1

2

．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,矩形的判定,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及直角△ABC≌直角△BAD，直角三角形的兩銳角互余，即可證得四邊形ACBD的四個角是直角，據(jù)此即可證得；
②根據(jù)圓周角相等，則所對的弧相等，然后根據(jù)垂徑定理即可證得；
③求得BD所對的圓心角即可判斷；
④當(dāng)△ABD的面積最大時，OD⊥AB，利用圓周角定理即可求得∠BCD的度數(shù)，即可作出判斷．

解答：解：①當(dāng)BD=AC時，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在直角△ABC和直角△BAD中，

AB=BA AC=BD

，
∴直角△ABC≌直角△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，
又∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠BAD=90°，
即∠CAD=90°，
∴四邊形ACBD為矩形，故①正確；
②當(dāng)∠BCD=∠ACD時，

BD

=

AD

，
∴OD⊥AB．
故②正確；
③若∠BAD=18°，則∠BOD=36°=

1

10

×360°，則以BD為邊可以作一個圓內(nèi)接正十邊形，正確；
④當(dāng)△ABD的面積最大時，OD⊥AB，則∠BOD=90°，∠BCD=45°，
則sin∠BCD=

1

2

錯誤．
故答案是：①②③．

點評：本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定定理，正確理解定理是關(guān)鍵．