Question

2．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）概念理解：
如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．
（2）問題探究：
①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由．
②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)AA′，BC′，小紅要使平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB′的長）？
（3）拓展應(yīng)用：
如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，AC=$\sqrt{2}$AB，試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；
（2）①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊相等，得出結(jié)論；
②由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=$\sqrt{5}$，再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC，由全等性質(zhì)得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代換得出結(jié)論．

解答 解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個即可）；
（2）①正確，理由為：
∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，
∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=$\sqrt{5}$，
（I）如圖1，當(dāng)AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；
（II）如圖2，當(dāng)AA′=A′C′時，BB′=AA′=A′C′=$\sqrt{5}$；
（III）當(dāng)A′C′=BC′=$\sqrt{5}$時，
如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
設(shè)B′D=BD=x，
則C′D=x+1，BB′=$\sqrt{2}$x，
∵在Rt△BC′D中，BD²+（C′D）²=（BC′）²
∴x²+（x+1）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得：x₁=1，x₂₌-2（不合題意，舍去），
∴BB′=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$
（Ⅳ）當(dāng)BC′=AB=2時，如圖4，與（Ⅲ）方法一同理可得：BD²+（C′D）²=（BC′）²，
設(shè)B′D=BD=x，
則x²+（x+1）²=2²，
解得：x₁₌$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，x₂₌$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（不合題意，舍去），
∴BB′=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$；

（3）BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC²+CD²=2BD²，如圖5，
∵AB=AD，
∴將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$=1，
∴△ACF∽△ABD，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，∴$CF=\sqrt{2}$BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC-360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC²+FB²⁼CF²=（$\sqrt{2}$BD）²=2BD²，
∴BC²+CD²=2BD²．

點評 本題主要考查了對新定義的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等，理解新定義，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．