Question

如圖，⊙O中，F(xiàn)G、AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB=4，⊙O的半徑為

5

．
（1）分別求出線段AP、CB的長；
（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；
（3）如果tan∠E=

3

2

，求DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可計算出BC=2，再根據(jù)垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP=

1

2

AB=2；
（2）易得OP為△ABC的中位線，則OP=

1

2

BC=1，再計算出

OC

OP

=

5

1

=

OE

OA

，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥EP得到∠DCB=∠E，則tan∠DCB=tan∠E=

3

2

，在Rt△BCD中，根據(jù)正切的定義計算出BD=3，根據(jù)勾股定理計算出CD=

13

，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得

DC

DE

=

DB

DP

，再利用比例性質(zhì)可計算出DE=

5 13

3

．

解答：（1）解：∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2

5

，AB=4，
∴BC=

AC2-AB2

=2，
∵直徑FG⊥AB，
∴AP=BP=

1

2

AB=2；

（2）證明∵AP=BP，AO=OC
∴OP為△ABC的中位線，
∴OP=

1

2

BC=1，
∴

OC

OP

=

5

1

，
而

OE

OA

=

5

5

=

5

，
∴

OC

OP

=

OE

OA

，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=

3

2

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB=

BD

BC

=

3

2

，
∴BD=3，
∴CD=

BC2+BD2

=

13

，
∵BC∥EP，
∴

DC

DE

=

DB

DP

，即

13

DE

=

3

3+2

，
∴DE=

5 13

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．