Question

如圖1，點A（m，m+1），點B（m+3，m-1）都在反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）如圖2，過點B作BC⊥x軸于C，在反比例函數圖象的A與B點之間，是否存在一點P，使得△POC的面積等于△OAB的面積？如果存在，請寫出直線OP的解析式；否則說明理由；
（3）如圖3，過點A作AM⊥y軸于M，過點B作BN⊥x軸于N，連接MN，當點A與點B在反比例函數的圖象上運動時（A，B不重合），MN與AB的位置關系如何？請證明你的結論．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）把A和B的坐標代入函數的解析式，即可列方程求得m的值，進而求得k的值；
（2）首先求得△ABO的面積，然后根據三角形的面積公式求得P的縱坐標，代入反比例函數的解析式求得P的坐標，然后利用待定系數法求得OP的解析式；
（3）設A的坐標是（a，

12

a

），B的坐標是（b，

12

b

），然后求得直線MN和直線AB的解析式中一次項系數，即可判斷．

解答：解：（1）根據題意得：m（m+1）=（m+3）（m-1）=k，
解得：m=3，
則k=3×4=12；
（2）A的坐標是（3，4），B的坐標是（6，2）．過A作AD⊥x軸于點D．
則S_△OAD=

1

2

×3×4=6，
S_梯形ADCB=

1

2

（4+2）×（6-3）=9，S_△OBC=6，
則S_△ABO=6+9-6=9，
設P的縱坐標是m，則

1

2

×6m=

1

2

×9，
解得：m=

3

2

，
把y=m=

3

2

代入y=

12

x

得：

12

x

=

3

2

，
解得：x=8，
∵點P在反比例函數圖象的A與B點之間，
∴P（8，

3

2

）不符合題意，即不存在這樣的點P，使得△POC的面積等于△OAB的面積；

（3）設A的坐標是（a，

12

a

），B的坐標是（b，

12

b

），
則直線AB的一次項系數是：

12 a - 12 b

a-b

=-

12

ab

，
直線MN的一次項系數是：

12 a

-b

=-

12

ab

，
兩個一次函數的一次項系數相同，則MN∥AB．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式以及直線平行的條件，求得△OAB的面積是關鍵．