Question

1．（1）證明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}$-$\frac{a}{ab+1}$|；
（2）利用（1）式，計(jì)算$\sqrt{1+199{0}^{2}+\frac{199{0}^{2}}{199{1}^{2}}}$-$\frac{1}{1991}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)完全平方公式，可得答案．
（2）根據(jù)$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}$-$\frac{a}{ab+1}$|，可得答案．

解答 （1）證明：∵（a+$\frac{1}$-$\frac{a}{ab+1}$）²
=a²+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}$+$\frac{2a}$-$\frac{2{a}^{2}}{ab+1}$-$\frac{2a}{b（ab+1）}$
=a²+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{2a（ab+1）-2a^{2}-2a}{b（ab+1）}$
=a²+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}$，
∴原式成立；
（2）原式=$\sqrt{199{0}^{2}+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{199{0}^{2}}{1990×1+1}}$-$\frac{1}{1991}$=1990+$\frac{1}{1}$-$\frac{1990}{1990×1+1}$-$\frac{1}{1991}$
=1990+1-1
=1990．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．