Question

7．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．
求證：（1）∠ADC=∠BDE；（用兩種方法證明）
（2）CE+DE=AD．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H交AD于P，根據(jù)已知條件求得△APH≌△CEH（ASA），△PDC≌△EDB（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）首先根據(jù)全等三角形的判定得出△ACP≌△BCE以及△DCP≌△DBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA，
又∵BC中點(diǎn)為D，
∴CD=BD，
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH，
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠ECH，
在△APH與△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAH=∠HCE}\\{AH=CH}\\{∠PHA=∠EHC}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△CEH（ASA），
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
即∠EBD=45°，
∵CH⊥AB，
∴∠PCD=45°=∠EBD，
在△PDC與△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}{PC=BE}\\{∠PCD=∠EBD}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴△PDC≌△EDB（SAS），
∴∠ADC=∠BDE；
（2）∵∠ACD=90°，∠AFC=90°，
∴∠ADC=∠ACF，
∵等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，CH是AB上的高，
∴AC=BC，CH=AH=BH，∠CAH=∠ACH=∠BCH=∠B=45°，
∵CE⊥AD，∴∠BCE+∠ACF=∠CAD+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠CAD
在△ACP和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠B}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠BCE}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCE（ASA），
∴AP=CE，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD．
在△DCP和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=BE}\\{∠DCP=∠B}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBE（SAS），
∴DP=DE，
∴AD=AP+PD=CE+DE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ACG≌△BCE是解題關(guān)鍵．