Question

2．如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F
（1）求證：AE=AF；
（2）連接EF，N為EF之中點(diǎn)，連接BN，求$\frac{BN}{CE}$的值；
（3）以BF為邊作正方形BFMH，如圖2，CH與AF相交于點(diǎn)Q，當(dāng)E在CD上運(yùn)動（不與C、D重合），問∠CQD的大小是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請指出其范圍．

Answer 1

分析 （1）證明△FAB≌△EAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）連接AN，作NM⊥BC于M，證明△AKM∽△BKF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定得到△AKF∽△NKB，求出∠NBM=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理解答即可；
（3）過點(diǎn)D作DR⊥QD交BC的延長線于R，證明△QAD≌△RCD，得到△DQR是等腰直角三角形，得到答案．

解答 （1）證明：∵AF⊥AE，∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
在△FAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EAD，
∴AE=AF；
（2）解：如圖1，連接AN，作NM⊥BC于M，
則NM∥CD，又點(diǎn)N是FE的中點(diǎn)，
∴CE=2MN，
∵∠AKN=∠FKB，∠ANF=∠MNB=90°，
∴△AKM∽△BKF，
∴$\frac{FK}{AK}$=$\frac{BK}{NK}$，又∠AKF=∠NKB，
∴△AKF∽△NKB，
∴∠NBK=∠AFK=45°，
∴∠NBM=45°，
∴BN=$\sqrt{2}$MN，
∴$\frac{BN}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）解：如圖2，過點(diǎn)D作DR⊥QD交BC的延長線于R，
∵四邊形BFMH是正方形，
∴BH=BF，
在△ABF與△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBH}\\{BF=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBH，
∴∠BAF=∠BCH，又∠AHQ=∠CHB，
∴∠AQH=∠ABC=90°，
∵∠AHC=∠AQH+∠BAF，∠QAD=∠BAF+∠BAD，
∴∠AHC=∠QAD，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCR，
∴∠DCR=∠QAD，
∵∠ADC=∠QDR=90°，
∴∠ADQ=∠CDR，
在△QAD和△DCR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAD=∠DCR}\\{AD=CD}\\{∠ADQ=∠CDR}\end{array}\right.$，
∴△QAD和△RCD，
∴DQ=DR，
∴∠CQD=45°．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確的做出輔助線是解題的關(guān)鍵．